Уравнения движения

---

Cистема дифференциальных уравнений

Расчет перелета КА производится путем интегрирования системы дифференциальных уравнений в инерциальной системе координат (J200 или АСК):

где Gxyzграв - составляющие гравитационного поля Земли Gxyzc - составляющие гравитационного поля Солнца Gxyzл - составляющие гравитационного поля Луны Fxyzатм - составляющие тормозящей силы атмосферы Fxyzду - составляющие тяги двигательной установки X,Y,Z,Vx,Vy,Vz - текущие координаты и скорость КА m - текущая масса КА P,W - тяга и удельный импульс ДУ

Для расчета перелета малой тягой на ГСО необходимо использовать метод высокого порядка (желательно восьмого) при интегрирования системы дифференциальных уравнений. Это обусловленно большой продолжительностью перелета (до 6-7 месяцев) и малой велечиной учитываемых сил (тяга ДУ,воздействие гравитационных полей Луны и Солнца). И если использовать методы более низких порядков (например четвертого), то к концу перелета ошибки интегрирования по велечине превысят воздействие возмущающих факторов, т.е. процесс разойдется. Это легко проверить проинтегрировав перелет туда, а потом обратно и сравнив начальные и конечные параметры орбиты.

В разделе "файлы" выложен исходник подпрограммы (на С) DOP853. Это программа вычисления численного решения системы дифференциальных уравнений первого порядка типа (y ' = f (x, y). Она использует Метод Рунге-Кутта порядка 8 (5,3) модифицированный Dormand & Prince с управлением размера шага и плотности вывода на печать.

Эта программа удобна тем, что сочетает высокую точность интегрирования с приличным быстродействием. Это достигается тем, что шаг интегрирования переменный. Программа сама выбирает размер шага исходя из заданной точности.

Дополнительную информацию,а также исходник этой подпрограммы на фортране можно найти здесь: http://www.unige.ch/math/folks/hairer/software.html

Расчет тормозящей силы атмосферы

F_x^атм = ρ * V * V_x^отн * Sm * Cx / 2
F_y^атм = ρ * V * V_y^отн * Sm * Cx / 2
F_z^атм = ρ * V * V_z^отн * Sm * Cx / 2

где Vотн - относительная скорость Vxотн = Vx + ω з * R y Vyотн = Vx - ω з * R x Vzотн = Vz

Sm - характерная площадь Миделя КА Сx - коэффициент лобового сопротивления ρ - плотность атмосферы (брать из ГОСТА) ω з - угловая скорость вращения Земли

Расчет составляющих тяги ДУ

Fx = Fn * nx + Fr * rx + Fb * bx Fy = Fn * ny + Fr * ry + Fb * by Fz = Fn * nz + Fr * rz + Fb * bz

где F n, Fr, Fb - составляющие тяги в орбитальной CK, соответственно трансверсальная, радиальная, бинормальная nxyz, rxyz, bxyz- орты орбитальной СК

составляющие тяги расчитываются следующим образом:

Fn = P * cos(Ψ) * cos(Θ) Fr = P * cos(Ψ) * sin(Θ) Fb = P * sin(Ψ)

где P - величина тяги ДУ Ψ - текущий угол рыскания Θ - текущий угол тангажа

орты орбитальной СК расчитываются следующим образом:

Расчет составляющих гравитационных полей Луны и Солнца

Эта часть будет выложена немного позднее.